UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 0.8
O perímetro de um triângulo retângulo é e a hipotenusa é . Exprima a área do triângulo como função de .
Passo 1
E aí gente, como é que vocês estão?
Nessa questão temos um triângulo retângulo cujo perímetro é dito ser e cuja hipotenusa vale .
O enunciado nos pede para determinar a área desse triângulo em função apenas de .
Para fazer isso podemos usar as relações válidas em triângulos retângulos. Por exemplo, sendo e os catetos do triângulo, por Pitágoras temos que:
Além disso, como o perímetro é , podemos escrever que:
Massa! Por fim, precisamos ter em mente que a área do triângulo pode ser dada por:
Beleza! Vamo nessa!
Passo 2
Temos que:
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, vem que:
Mas, se lembrarmos do teorema de Pitágoras, temos que:
Substituindo, ficamos com:
Agora vem o pulo do gato galera!!
Vimos que:
Substituindo em nossa expressão, teremos:
Logo:
E é isso galera!!
Obrigado pela atenção e até a próxima!