O perímetro de um triângulo retângulo é 6 e a hipotenusa é x . Exprima a área do triângulo como função de x .

Passo 1

E aí gente, como é que vocês estão?

Nessa questão temos um triângulo retângulo cujo perímetro é dito ser 6 e cuja hipotenusa vale x .

O enunciado nos pede para determinar a área desse triângulo em função apenas de x .

Para fazer isso podemos usar as relações válidas em triângulos retângulos. Por exemplo, sendo a e b os catetos do triângulo, por Pitágoras temos que:

a 2 + b 2 = x 2

Além disso, como o perímetro é 6 , podemos escrever que:

a + b + x = 6

Massa! Por fim, precisamos ter em mente que a área do triângulo pode ser dada por:

S = a b 2

Beleza! Vamo nessa!

Passo 2

Temos que:

a + b + x = 6

∴ a + b = 6 - x

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, vem que:

a + b 2 = 6 - x 2

a 2 + 2 a b + b 2 = 6 - x 2

Mas, se lembrarmos do teorema de Pitágoras, temos que:

a 2 + b 2 = x 2

Substituindo, ficamos com:

2 a b = 6 - x 2 - x 2

2 a b = 36 - 12 x

Agora vem o pulo do gato galera!!

Vimos que:

S = a b 2

⇒ 2 S = a b

Substituindo em nossa expressão, teremos:

2 ⋅ 2 S = 36 - 12 x

Logo:

S = 9 - 3 x

E é isso galera!!

Obrigado pela atenção e até a próxima!

Resposta

9 - 3 x

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