Seja f : [-∞, 1) → [2, ∞) definida por f(x) = x^2 - 2x + 3 . A inversa de f é a função f^(-1) : [2, infinito) → (-infinito, 1] dada por

a) f^(-1)(x) = 1 + raiz(x - 2)

b) f^(-1)(x) = 2 - raiz(x - 1)

c) f^(-1)(x) = 1 - raiz(x - 2)

d) f^(-1)(x) = 2 + raiz(x - 2)

e) f^(-1)(x) = 1 + raiz(x + 2)

Passo 1

E aíí gente, tudo belezinha?

Se liga, temos uma função que o domínio vai de - ∞ até 1 :

f x = x 2 - 2 x + 3

Então temos só uma parte de uma parábola, que é a parte que vem lááá da esquerdona até chegar em x = 1 . Depois disso não tem mais nada! Em x = 1 , temos

f 1 = 1 2 - 2 + 3 = 2

Que é exatamente onde começa a imagem da função. Então temos algo nesse estilo:

E aí queremos encontrar a função inversa de f ( x ) , lembrando que o domínio vira a imagem e a imagem vira o domínio hahahaha

Para isso, vamos fazer y = x 2 - 2 x + 3 , trocar x e y de lugar e aí isolar o y . Bora?

Passo 2

Temos

y = x 2 - 2 x + 3

Trocando x por y :

x = y 2 - 2 y + 3

y 2 - 2 y + 3 - x = 0

(se liga no bizu: sempre que formos inverter uma função quadrática, o esquema depois dessa troca é resolver a equação para y . Isso vai nos dar duas soluções, mas temos que focar naquela solução que ta no contra-domínio que foi dado pelo enunciado, beleza?)

Então vamos resolver isso para y :

∆ = - 2 2 - 4.1 . 3 - x = 4 - 12 + 4 x = 4 x - 8

Então:

y = 2 ± 4 x - 8 2

Dividindo em cima e embaixo por 2 :

y = 2 2 ± 1 2 4 x - 8 2 2 = 2 2 ± 1 4 ( 4 x - 8 ) 2 2 = 1 ± x - 2 1

Então, nossas soluções são

y 1 = 1 + x - 2

y 2 = 1 - x - 2

Beleza, agora vamos ver qual dessas soluções satisfaz o contra-domínio do enunciado

Passo 3

Queremos que o contra-domínio venha lááá de - ∞ até chegar em 1 , no eixo vertical.

Vamos analisar nossas soluções:

y 1 = 1 + x - 2

y 2 = 1 - x - 2

Para y 1 , conforme o valor de x vai crescendo de 2 até , o valor de y 1 também cresce. Se x for 92472983 por exemplo, o y 1 também vai ser um número muito grande, vai indo lá pra + ∞

Por outro lado, em y 2 , se o x for crescendo muito (de 2 até ), o y 2 vai diminuindo, porque temos 1 menos alguma coisa muito grande. Isso vai dar um número negativo absurdo HAHAHAHA

Então, quando x vai crescendo no nosso domínio, o y 2 vai diminuindo mais e mais, indo lá pra - ∞

Portanto, quem obedece o requisito de que em algum momento o contra-domínio vai ser negativo é o y 2 :

y 2 = 1 - x - 2

Essa é a nossa função inversa com o domínio e contra-domínio dados

Então a alternativa correta é a letra C

Resposta

c )   1 - x - 2

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