UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 0.5e
Estude o sinal (determine onde é positiva e onde é negativa) das funções
Passo 1
Olá galerinha, tudo bem por aí?
Nessa questão recebemos a função:
E, precisamos determinar quais os intervalos em que é positiva ou negativa.
Para ser positiva precisamos que o numerador e o denominador tenham o mesmo sinal. Se tiverem sinais contrários, a função será negativa.
Além disso, como trata-se de uma fração, o denominador não pode ser nulo.
Portanto, pra fazer o estudo de sinal dessa função, vamos fazer o estudo de sinal separadamente do numerador e do denominador, e depois consideramos os casos. Beleza?
Vamo nessa!
Passo 2
Começando pelo denominador, vamos verificar para quais valores de ele é não-positivo. Temos:
Opaaa, isso não acontece dentro dos números reais. Isso porque, nos reais, qualquer número elevado ao quadrado é positivo.
Isso significa que o denominador da nossa fração que representa é sempre positivo, logo, o sinal de dependerá exclusivamente do sinal do numerador.
Passo 3
Vamos analisar o numerador:
Para que o numerador seja positivo, devemos ter:
Analogamente, para o numerador ser negativo, devemos ter:
E, o numerador é nulo quando .
Como vimos no passo anterior, o sinal do numerador está determinando o sinal da própria função .
Portanto, podemos resumir o estudo do sinal de como:
Terminamosss!
Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊