Estude o sinal (determine onde é positiva e onde é negativa) das funções y = f(x) :

e) 2x / (x^2 + 4)

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem por aí?

Nessa questão recebemos a função:

y = 2 x x 2 + 4

E, precisamos determinar quais os intervalos em que y = f ( x ) é positiva ou negativa.

Para y = f ( x ) ser positiva precisamos que o numerador e o denominador tenham o mesmo sinal. Se tiverem sinais contrários, a função será negativa.

Além disso, como trata-se de uma fração, o denominador não pode ser nulo.

Portanto, pra fazer o estudo de sinal dessa função, vamos fazer o estudo de sinal separadamente do numerador e do denominador, e depois consideramos os casos. Beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Começando pelo denominador, vamos verificar para quais valores de x ele é não-positivo. Temos:

x 2 + 4 ≤ 0

x 2 ≤ - 4

Opaaa, isso não acontece dentro dos números reais. Isso porque, nos reais, qualquer número elevado ao quadrado é positivo.

Isso significa que o denominador da nossa fração que representa f ( x ) é sempre positivo, logo, o sinal de f ( x ) dependerá exclusivamente do sinal do numerador.

Passo 3

Vamos analisar o numerador:

2 x

Para que o numerador seja positivo, devemos ter:

2 x > 0

∴ x > 0

Analogamente, para o numerador ser negativo, devemos ter:

x < 0

E, o numerador é nulo quando x = 0 .

Como vimos no passo anterior, o sinal do numerador está determinando o sinal da própria função f ( x ) .

Portanto, podemos resumir o estudo do sinal de f ( x ) como:

x < 0 → f x   é   n e g a t i v o x = 0 → f x   é   n u l o x > 0 → f x   é   p o s i t i v o

Terminamosss!

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

x < 0 → f x   é   n e g a t i v o x = 0 → f x   é   n u l o x > 0 → f x   é   p o s i t i v o

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