42. Prove que a equação x^3 - 1 / (1 + x^4) = 0 admite ao menos uma raiz real.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar que a equação dada tem pelo menos uma raiz.

Pra isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário que diz que se uma função contínua f x está definida em um intervalo fechado a , b e assume valores com sinais opostos nos pontos a e b , então existe pelo menos um ponto c que pertence ao intervalo a , b onde f x = 0 (ou seja, possui pelo menos uma raiz).

Passo 2

A nossa função vai ser:

f x = x 3 - 1 1 + x 4

Nessa questão precisamos escolher dois valores pra poder usar como intervalo e analisar.

Uma boa é escolher valores mais fáceis de calcular a função. Vamos tentar os clássicos 0 e 1 .

Primeiro vamos achar o valor da função em x = 0 :

f 0 = 0 3 - 1 1 + 0 4

= - 1 1

- 1

Agora vamos achar o valor da função em x = 1 :

f 1 = 1 5 - 1 1 + 1 4

= 1 - 1 2

= 1 2

Ohhh... Como encontramos sinais opostos, então, pelo teorema do valor intermediário, podemos dizer que a equação x 3 - 1 1 + x 4 = 0 possui pelo menos uma raiz.

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados