Passo 1
Beleza, vamos analisar isso com calma.
Queremos o ponto sobre a parábola que esteja o mais próximo possível do ponto Ou seja, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sendo que um dos pontos é o ponto e o outro ponto é um ponto que tem que estar na parábola.
Assim, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sujeita a restrição da parábola.
E qual é a função distância?
É essa aqui:
Tá, mas antes de passarmos para o próximo passo, uma dica pra facilitar a nossa vida:
Minimizar a função distância e minimizar a função distância ao quadrado dá no mesmo. Só que com a diferença de que a função distância ao quadrado não tem essa raiz quadrada aí, o que facilita nossa vida na hora de calcular as derivadas parciais.
Então vamos usar essa função aqui:
Passo 2
Agora sim.
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Assim:
Passo 3
Agora, jogando tudo para o lado esquerdo na equação da restrição e chamando de :
E calculando seu gradiente:
Passo 4
Utilizando o multiplicador de Lagrange:
Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:
Passo 5
Substituindo a terceira equação na segunda:
Agora substituindo isso na primeira equação:
Beleza, chegamos numa equação de terceiro grau.
Como resolver essa bagaça?
Então, é agora que eu vou te dar um bizu bolado!
Se você reparar, temos um positivo multiplicando o , e um , que aparece duas vezes, uma multiplicando o e outra sendo subtraído da equação toda.
Ora, mas se a gente subtrair duas vezes 8 de 16, não teremos exatamente zero, tal como diz essa equação do terceiro grau aí?
Pois é, pra isso, só precisamos que nosso seja igual a 1.
Então, se é uma solução,
Assim, nosso ponto é
Beleza, mais um detalhe. Para acharmos as outras raízes, precisamos dividir a equação por . Fazendo isso, por Briot-Ruffini, encontramos:
Que não tem raízes reais. Por isso ficamos só com um ponto mesmo.
Resposta
