Passo 1
Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.
Digamos que as dimensões da caixa são e . Então o volume da caixa é .
Agora vamos analisar a quantidade de madeira para a construção da caixa.
Ela depende das dimensões e da caixa, então vamos chamá-lo de .
Essa quantidade é a soma das áreas das faces laterais da caixa.
Assim, sendo as faces retangulares, a quantidade de material será
A primeira parcela é referente a duas faces laterais, a segunda, as outras duas e a terceira, ao fundo da caixa.
Passo 2
Recapitulando, queremos o mínimo de
Com a restrição .
Ou sejeee, Lagrange neles!
Vamos criar a função assim temos
Então agora é só calcular os gradientes de e :
e
Passo 3
Show! Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos
Acrescentando a condição , obtemos o sistema
Multiplicando a 1ª equação por , a 2ª por e a 3ª por , obtemos:
Logo:
Passo 4
Vamos separar essa equação em duas:
Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então , e . Considerando isso, pelas equação temos:
E a equação nos dá:
Passo 5
Ótimo! Então usando a restrição obtemos
Então para e temos:
Só achamos uma solução: . Então esse é o ponto que minimiza a quantidade de material para a construção da caixa.
Resposta
