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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 31

(Capítulo 14.8 – Exercício 31) Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

Exercício 41

Determine os pontos do z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do ponto (4,2,0).

Passo 1

Falaaa... belezinha??? Nessa questão vamos usar os multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

E a nossa função f podemos definir como:

d 2 = x - 4 2 + y - 2 2 + z - 0 2

Já que queremos os pontos mais próximos e tananana... nada mais justo que usar a distância, sacou?

E a restrição vai ser:

g = x 2 + y 2 - z 2

Então só bora meter a mão na massa.

Passo 2

Como é o ponto mais próximo, então vamos achar o mínimo, certo? Então bora...

∇ f = λ ∇ g

f x , f y , f z = λ g x , g y , g z

2 x - 4 , 2 y - 2 , 2 z = λ 2 x , 2 y , - 2 z

Daí ficamos com o sisteminha:

2 x - 4 = 2 λ x 2 y - 2 = 2 λ y 2 z = - 2 λ z

Repara, que pela última equação do sistema temos:

2 z = - 2 λ z

2 z + 2 λ z = 0

z 1 + λ = 0

E ficamos com ou z = 0 ou 1 + λ = 0 → λ = - 1 .

Se a gente jogar na restrição o z = 0 , ficamos com x = y = 0 , o que não é possível observando as duas primeiras equações do sistema.

Então batemos o martelo com λ = - 1 .

Passo 3

Agora é só substituir esse λ nas equações pra achar os pontos.

Ficamos com:

2 x - 4 = 2 λ x

2 x - 4 = 2 - 1 x

x - 4 = - x

x = 2

2 y - 2 = 2 λ y

2 y - 2 = 2 - 1 y

y - 2 = - y

y = 1

Daí agora usamos:

x 2 + y 2 = z 2

2 2 + 1 2 = z 2

z = ± 5

Então os pontos são:

2,1 , ± 5

Showdi... partiu pra próxima questão??

Resposta

2,1 , ± 5

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