Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Ver Teoria
Exercício 121123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P3 2016.1, questão 2

Considere a função

h x , y = 4 x + 4 y

Considere o conjunto

K = x , y ∈ R 2     x 4 + y 4 ≤ 2 }  

Calcule o valor máximo e o valor mínimo de h restrita a K .

Passo 1

Calcular valor máximo e mínimo de uma função com uma restrição? Hummm, isso só pode ser multiplicadores de lagrange com uma restrição. Vamos lá então.

Maaaaaas, não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ≤ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de h é:

∇ h x , y = 4,4

Igualando a zero:

4,4 = 0 ,   0

Opa, peraí! h x x , y = h y x , y = 4 ≠ 0 , então essa equação nunca vale! Portanto, h não tem nenhum ponto crítico no interior de K , o que significa que os pontos de máximo e mínimo que procuramos estão na fronteira da região.

Agora sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

A fronteira da região é definida por:

x 4 + y 4 = 2

Jogando tudo pra esquerda:

x 4 + y 4 - 2 = 0

Chamamos isso de g x , y :

g x , y = x 4 + y 4 - 2

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y = 4 x 3 , 4 y 3

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

4 x 3 , 4 y 3 = λ ( 4,4 )

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

4 x 3 = 4 λ 4 y 3 = 4 λ x 4 + y 4 = 2  

Passo 4

Resolvendo esse sistema, fazemos

λ = 1 x 3   ( x ≠ 0 )

λ = 1 y 3   ( y ≠ 0 )

1 x 3 = 1 y 3

x 3 = y 3

x = y

Substituindo isso na ultima equação:

x 4 + x 4 = 2

2 x 4 = 2

x 4 = 1

x = ± 1

E então, temos dois pontos,

P 1 = 1 ,   1

P 2 = - 1 , - 1

Passo 5

Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

h x , y = 4 x + 4 y

Para P 1 = 1 ,   1 , temos:

h 1 ,   1 = 4.1 + 4.1 = 8

Para P 2 = - 1 , - 1 , temos:

h - 1 , - 1 = 4 . - 1 + 4 . - 1 = - 8

Então, h 1,1 = 8 é o valor de máximo de h em K e h - 1 , - 1 = - 8 é o valor mínimo de h em K .

Resposta

h 1,1 = 8 é o valor de máximo de h em K e h - 1 , - 1 = - 8 é o valor mínimo de h em K .

Exercícios de Livros Relacionados

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 39
Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 =
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =