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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange

Considere a função f   : R 2 → R definida por

f x , y = x y - x - y + 2 .

(a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 } .

Passo 1

(a)

As palavrinhas mágicas “determine os pontos críticos e classifique-os” apareceram, então não tem erro!

Vamos ter que achar as derivadas parciais da f , igualá-las a zero e depois mandar brasa no teste da derivada segunda! Então partiu:

f x , y = x y - x - y + 2

⇒     f x x , y = y - 1 - 0 + 0 = y - 1

⇒ f y x , y = x - 0 - 1 + 0 = x - 1

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas parciais a zero:

f x x , y = 0

⇒ y - 1 = 0

⇒   y = 1

E:

f y x , y = 0

⇒ x - 1 = 0

⇒   x = 1

Portanto, f só tem um ponto crítico: o ponto P 0 = ( 1,1 ) .

Passo 3

Vamos usar o teste da derivada segunda pra classificar P 0 . Mas primeiro vamos precisar calcular as derivadas segundas, é claro! Vamos ter:

f x x x , y = 0

f y y x , y = 0

E pras derivadas mistas:

f x y x , y = f y x x , y = 1

Observação: as derivadas de segunda ordem são constantes, portanto o determinante do teste da derivada segunda não vai depender do ponto no qual é calculado :)

Passo 4

Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

H x , y = H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y P 0 f y x P 0 f y y ( P 0 ) = 0 1 1 0

H P 0 = 0.0 - 1.1 = - 1 < 0

L ogo P 0 é ponto de sela.

Tranquilo, vamos pra (b)!

Passo 5

(b)

Agora queremos o máximo e o mínimo de f com a restrição x 2 + y 2 ≤ 1 . Primeiro você pode reparar que o único ponto crítico da f , P 0 = ( 1,1 ) não faz parte desse conjunto D . Isso significa que vamos ter que procurar o máximo e o mínimo absolutos de f na borda do conjunto, ou seja no círculo x 2 + y 2 = 1 . Fatalmente vamos ter que usar Lagrange!

Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?

x 2 + y 2 - 1 = 0

Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g ( x , y ) :

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” g x , y = 0 , o que dá na equação:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Passo 6

O gradiente da f nós já calculamos, é:

∇ f x , y = ( y - 1 ,   x - 1 )

E o da g vai ser:

g x x , y = 2 x + 0 - 0 = 2 x

g y x , y = 0 + 2 y - 0 = 2 y

⇒   ∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Passo 7

Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:

y - 1 ,   x - 1 = λ ( 2 x , 2 y )

E ainda temos a restrição g x , y = 0 , então nosso sistema vai ficar assim:

y - 1 = λ 2 x 1 x - 1 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 3

Vamos multiplicar a equação ( 1 ) por y , a equação ( 2 ) por x e subtrair uma da outra:

y y - 1 - x x - 1 = λ 2 x y - λ 2 y x = 0

y y - 1 = x ( x - 1 )

y 2 - y = x 2 - x

y 2 - x 2 = y - x

y - x y + x = y - x

Isso nos dá 2 opções:

  • ou y + x = 1   ⇒     y = 1 - x (caso 1)
  • ou y - x = 0   ⇒     y = x (caso 2)

Passo 8

Caso 1:

Vamos começar estudando o caso y = 1 - x . Substituindo na equação ( 3 ) , temos:

x 2 + 1 - x 2 = 1

x 2 + 1 - 2 x + x 2 - 1 = 0

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

⇒ x = 0     o u     x = 1

Como y = 1 - x , se x = 0 então y = 1 , e se x = 1 então y = 0 .

Assim, obtemos 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de f em D : os pontos P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = 1,0 .

Passo 9

Caso 2:

Vamos agora analisar o caso y = x . A equação ( 3 ) fica:

2 x 2 = 2 y ² = 1

⇒   x = y = ± 1 2 = ± 2 2

Assim, temos mais 2 pontos candidatos: P 3 = 2 2 , 2 2 e P 4 = - 2 2 ,   - 2 2 .

Passo 10

Portanto, temos 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo absolutos de f no disco D :

P 1 = ( 0,1 )

P 2 = 1,0

P 3 = 2 2 , 2 2

P 4 = - 2 2 ,   - 2 2

Só falta calcular o valor da f em cada um desses pontos e ver qual é o máximo e qual é o mínimo, então vamos lá!

Portanto, os pontos de mínimo de f no conjunto D são ( 1,0 ) e ( 0,1 ) (o valor mínimo é 1 ), e o ponto de máximo é - 2 2 ,   - 2 2 (o valor máximo é 5 2 + 2 ).

Resposta

(a)

f tem um ponto crítico: o ponto de sela ( 1,1 ) .

(b)

Pontos de mínimo: ( 1,0 ) e ( 0,1 ) , com valor mínimo 1

Ponto de máximo - 2 2 ,   - 2 2 , com valor máximo 5 2 + 2 .

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