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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 6a

Determinar os pontos de máximos e mínimos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:

a)

f x , y = x 2 + y 2 com a condição de que x + y = 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos os pontos de máximo/mínimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, da seguinte função:

f x , y = x 2 + y 2

Dada a seguinte restrição:

x + y = 1

Para isso, temos que reescrever a restrição da seguinte forma:

x + y - 1 = 0

Depois, vamos aplicar na função lagrangeana e derivá-la em relação as suas três variáveis!!

Por fim, devemos igualar as derivadas a zero (pois queremos os pontos de máximo/mínimo) para verificarmos os valores de x , y e λ .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... a função lagrangeana é dada por:

L x , y , λ = x 2 + y 2 - λ x + y - 1 ∴

L x , y , λ = x 2 + y 2 - λ x - λ y + λ

Derivando L em relação às três variáveis, temos:

∂ L ∂ x = 2 x - λ

∂ L ∂ y = 2 y - λ

∂ L ∂ λ = - x - y + 1

Nesse sentido, igualando as derivadas a zero, obtemos:

2 x - λ = 0 2 y - λ = 0 - x - y + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, encontramos x = 1 2 e y = 1 2 .

Substituindo esses pontos na função, obtemos:

f 1 2 , 1 2 = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 2

Fazendo o teste de vizinhança do ponto:

f 2,0 = 2 2 + 0 2 = 4

f 0,2 = 0 2 + 2 2 = 4

Logo, percebemos que x , y = 1 2 , 1 2 é um ponto de mínimo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x , y = 1 2 , 1 2 é um ponto de mínimo

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