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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 6c

Determinar os pontos de máximos e mínimos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:

c)

f x , y = 2 x + y ; com a condição de que x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos os pontos de máximo/mínimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, da seguinte função:

f x , y = 2 x + y

Dada a seguinte restrição:

x 2 + y 2 = 4

Para isso, temos que reescrever a restrição da seguinte forma:

x 2 + y 2 - 4 = 0

Depois, vamos aplicar na função lagrangeana e derivá-la em relação as suas três variáveis!!

Por fim, devemos igualar as derivadas a zero (pois queremos os pontos de máximo/mínimo) para verificarmos os valores de x , y e λ .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... a função lagrangeana é dada por:

L x , y , λ = 2 x + y - λ x 2 + y 2 - 4 ∴

L x , y , λ = 2 x + y - λ x 2 - λ y 2 + 4 λ

Derivando L em relação às três variáveis, temos:

∂ L ∂ x = 2 - 2 λ x

∂ L ∂ y = 1 - 2 λ y

∂ L ∂ λ = - x 2 - y 2 + 4

Nesse sentido, igualando as derivadas a zero, obtemos:

2 - 2 λ x = 0 1 - 2 λ y = 0 - x 2 - y 2 + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, encontramos x = 4 5 5 e y = 2 5 .

Substituindo esses pontos na função, obtemos:

f 4 5 5 , 2 5 = 2 4 5 5 + 2 5 = 4,47

Fazendo o teste de vizinhança do ponto:

f 2,0 = 2 2 + 0 = 4

f 0,2 = 2 0 + 2 = 2

Logo, percebemos que x , y = 4 5 5 , 2 5 é um ponto de máximo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x , y = 4 5 5 , 2 5 é um ponto de máximo

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