UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 7
Determine os pontos do cone que estão mais próximos do ponto
Passo 1
Olá viventes, tudo tranquilo? Essa questão fala para determinarmos os pontos mais próximos ao ponto e que pertencem ao cone de equação
Quando o problema pede para calcular o ponto mais próximo, na verdade ele quer que a distância seja a menor possível, certo?
Mas ele não só precisa estar mais próximo, como também pertencer ao cone! Isso quer dizer que queremos minimizar a função distância, com o vínculo do cone, ou seja, uma restrição!
Isso nos lembra de MULTIPLICADORES DE LAGRANGE!
Então a ideia aqui é usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para achar quais pontos satisfazem o vínculo! Lembrando que precisamos resolver
Onde é quem precisamos minimizar e nosso vínculo! Ambos devem estar no formato , beleza? Bora começar?
Passo 2
A função distância de um ponto é dada por
E tanto faz calcularmos os pontos críticos usando ou , pois eles serão mínimos no mesmo ponto! Então vamos sempre preferir uma função sem a raiz! Facilitar a vida né?
Queremos minimizar a distância até o ponto , então
E nossa função será
Tranquilo?
Agora precisamos achar nossa função vínculo! Temos que o ponto deve estar no cone
Então nossa função pode ser encontrada passando lá para o outro lado
Prontinho! Temos as duas funções!
Passo 3
Nossa missão agora é aplicar o método!
Daí temos que é
E :
Beleza?
Agora fazendo temos
Aí a gente iguala componente a componente:
Da última equação temos que .
Mas se pela equação , teríamos também. E aí as duas equações de cima não seriam satisfeitas!
Passo 4
Com o valor de na mão, vamos retornar ao nosso sistema e encontrar os pontos! Temos essas três equações:
Da primeira:
Da segunda:
E podemos usar a terceira? Nããão! Já usamos ela! Aqui que entra o vínculo!
Nosso vínculo é o cone:
Substituindo temos
Sendo assim temos dois pontos
Beleza? Esses são nossos pontos críticos sujeitos ao vínculo! Precisamos descobrir se algum deles é mais próximo do ponto do que o outro, então bora testar na equação para a distância!
estamos quase lá!
Passo 5
A distância até o ponto é dada pela equação
Vamos testar os dois pontos que achamos!
Primeiro :
Agora o segundo ponto :
Os dois forneceram distâncias iguais ao ponto , então nossa resposta são os dois!
Esses são os pontos mais próximos!
Ufa, agora sim acabamos! Vamos para a próxima?