Determine os pontos de máximo e mínimo da função
Sobre o conjunto compacto
Passo 1
Queremos encontrar os máximos e mínimos da função no disco
Isso significa que devemos buscar os canditados tanto dentro do disco, como também na fronteira do disco.
Para achar os canditados dentro, ou seja, em
Vamos apenas achar os pontos críticos que estão alí dentro e classifica-los normalmente.
Já para achar os canditados na fronteira, ou seja, em
vamos ter que usar o famoso Lagrange.
Beleza?! Vamos lá então!
Passo 2
Começando pelos candidatos dentro do disco.
Achando os pontos críticos:
Da primeira equação temos que
E da segunda,
Assim, temos o ponto
E temos que verificar se ele está mesmo dentro do disco. Substituindo na equação do disco, vemos que, de fato, está, porque
Beleza, então esse é nosso primeiro candidato.
Passo 3
Vamos agora usar o método dos multiplicadores de Lagrange para buscar os candidatos na fronteira do disco, ou seja, no cículo.
Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?
Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de :
Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” , o que dá na equação:
Passo 4
O gradiente da nós já calculamos, é:
E o da vai ser:
Passo 5
Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:
E ainda temos a restrição , então nosso sistema vai ficar assim:
Da segunda equação temos que
OU
NÃO ESQUECE ESSE , HEINNNNNNN!
Ficamos então com esses dois casos. E vamos resolver um por um.
Passo 6
Começando por .
Substituindo na primeira equação, encontramos que
Jogando na equação da restrição, achamos que
Ficamos então com mais dois candidatos:
Passo 7
Agora vamos para o caso
Substituindo isso na equação da restrição, ficamos com
E temos mais dois candidatos:
Passo 8
Agora é só pegar todos esses candidatos e substituir na expressão da função pra ver quem da os valores máximos e quem da os valores mínimos:
Dessa forma, o ponto é ponto de mínimo e os pontos e são os pontos de máximo dentro do compacto .
Resposta
Mínimo:
Máximos: