UNICAMP, Cálculo 2, Prof. Rafael Leão e Marcos Jardim, P1 2014.1, 5
Determine o volume do maior paralelepípedo no primeiro octante com três faces nos planos coordenados , e e um vértice no plano , onde .
Passo 1
Bora entender melhor esse problema. A gente tem um paralelepípedo situado no primeiro octante, com três faces nos planos coordenados , e e um vértice no plano , onde .
Isso nos permite pensar o seguinte: Se o vértice que toca o plano , é o ponto , então o volume do paralelepípedo é .
Ou seja, temos que maximizar a função:
Sujeita a restrição:
Passo 2
Para resolver esse problema vamos usar os multiplicadores de Lagrange pra resolver esse problema. Vamos começar calculando o gradiente de . Temos:
Passo 3
Ajeitando a restrição, temos:
Calculando seu gradiente:
Passo 4
Logo, temos o sistema de equações:
Passo 5
Caso 1:
Supondo
Dividindo a equação pela , temos:
Dividindo a equação pela , temos:
Substituindo na equação , temos:
Logo:
Temos o ponto
Passo 6
Caso 2:
Da primeira equação:
Temos duas possibilidades:
Caso 2.1:
Da equação temos:
Duas possibilidades:
Caso 2.1.1:
Substituindo na equação 4:
Logo, temos o ponto
Caso 2.1.2:
Substituindo na equação 4:
Temos o ponto:
Caso 2.2:
Da equação , temos:
Duas possibilidades:
Caso 2.2.1:
Substituindo na equação , temos:
Temos o ponto
Caso 2.2.2:
Substituindo na equação , temos:
Já tínhamos encontrado esse ponto.
Passo 7
Agora, temos de verificar o valor que a função assume para cada ponto candidato a valor de máximo função. Vamos ter:
Logo, o volume máximo desse paralelepípedo é
Resposta
O volume máximo do paralelepípedo é