As dimensões da caixa retangular (com tampa) de volume máximo cuja área total de sua superfície é são:
Passo 1
Ele quer um volume máximo e dá uma restrição: a área total. Sempre que a gente quer maximar um valor dentro de uma restrição a gente usa Lagrange.
Ok, mas qual função a gente quer maximar? Não é o volume? Então queremos maximar:
Onde são os lados da caixa. Show?
E quem é a nossa restrição? A área total da superfície com tampa. Temos dois lados de de área, dois de e dois de . Logo:
Passo 2
Usar Lagrange é fazer isso:
Quem é ?
Vamos calcular esses gradientes então:
Passo 3
Substituindo o que a gente achou em:
Ficamos com um sistema para achar que maximiza . Colocamos as equações que encontramos igualando cada componente e a equação da restrição no sistema:
Passo 4
Normalmente quando a gente cai num sistema cheio de produtos parecidos com 3 variáveis, a gente pode pensar em multiplicar cada uma das 3 primeiras equações por diferentes variáveis. E qual é o nosso objetivo? É fazer aparecer um termo comum entre elas.
No nosso sistema, a gente pode multiplicar a primeira equação por , a segunda por e a terceira por . Olha no que dá:
Agora todas as 3 primeiras equações tem o termo em comum. Então a gente pode fazer:
Passo 5
Analisando essas igualdades separadamente:
Como é uma dimensão, ele precisa ser maior que zero, então podemos dizer que:
Pela outra igualdade:
Com isso a gente tem que .
Com isso a gente já sabe que a alternativa c é a certa, mas substituindo na restrição a gente fica com:
Resposta
Letra c