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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

Multiplicadores de Lagrange

Encontre a expressão geral (em termos de todos os parâmetros) do ponto x 1 , x 2 que maximiza a função Cobb-Douglas U x 1 , x 2 = k x 1 α x 2 1 - α sujeito a p 1 x 1 + p 2 x 2 = I .

Passo 1

Verificar se há algum ponto crítico dentro da região:

Calcular gradiente da função:

∇ f x 1 , x 2 = k α x 1 α - 1 x 2 1 - α , k 1 - α x 1 α x 2 - α

O ponto crítico deve ter

k α x 1 α - 1 x 2 1 - α = 0

k 1 - α x 1 α x 2 1 - α = 0

Da primeira e da segunda equação equação vamos ter

x 1 = 0   o u   x 2 = 0

O ponto crítico vai ser

x 1 , x 2 = 0,0

Considerando I > 0 esse ponto não está na restrição.

Passo 2

Verificar máximos e mínimos na superfície:

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

p 1 x 1 + p 2 x 2 = I

⇒ p 1 x 1 + p 2 x 2 - I = 0

Passo 3

Definir função g x 1 , x 2 sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x 1 , x 2 = p 1 x 1 + p 2 x 2 - I

Passo 4

Calcular gradiente de g x 1 , x 2 :

∇ g x 1 , x 2 = p 1 , p 2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ k α x 1 α - 1 x 2 1 - α , k 1 - α x 1 α x 2 - α = λ p 1 , p 2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

k α x 1 α - 1 x 2 1 - α = λ p 1 k 1 - α x 1 α x 2 - α = λ p 2

Passo 7

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da superfície: p 1 x 1 + p 2 x 2 = I

k α x 1 α - 1 x 2 1 - α = λ p 1 k 1 - α x 1 α x 2 - α = λ p 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 = I

Passo 8

Vamos arrumar a primeira equação

k α x 1 x 2 α - 1 = λ p 1

Da segunda equação temos

k 1 - α x 1 x 2 α = λ p 2

Dividindo essas duas equações, considerando λ ≠ 0

α 1 - α x 1 x 2 - 1 = p 1 p 2

Vamos ter

x 2 = 1 - α α p 1 p 2 x 1  

Passo 9

Vamos substituir esse valor na equação da restrição

p 1 x 1 + p 2 x 2 = I

p 1 x 1 + p 2 1 - α α p 1 p 2 x 1 = I

p 1 x 1 + 1 - α α p 1 x 1 = I

α p 1 x 1 α + 1 - α α p 1 x 1 = I

p 1 x 1 α = I

x 1 = I α p 1

Agora vamos achar x 2

x 2 = 1 - α α p 1 p 2 x 1

x 2 = 1 - α α p 1 p 2 I α p 1 = 1 - α I p 2

Passo 10

Como só temos um ponto esse é o ponto de máximo que ele pediu, não precisamos verificar se ele é máximo, só pode ser ele.

x 1 , x 2 = I α p 1 , 1 - α I p 2

Resposta

x 1 , x 2 = I α p 1 , 1 - α I p 2

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