Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura a seguir. Determinar a área máxima possível para o galpão. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a área máxima possível para o galpão mostrado na figura abaixo utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Para isso, primeiramente devemos determinar a nossa função e a restrição.

A nossa função é a área A do galpão, que é dada por:

A x , y = x y

E a nossa restrição é aquele cantinho do galpão que toca no triângulo.

Se colocarmos a nossa figura em coordenadas cartesianas, obtemos:

Logo, percebemos que a hipotenusa do nosso triângulo é uma reta com a seguinte equação:

x 20 + y 10 = 1 ∴

x + 2 y - 20 = 0

Que é a nossa restrição (já na forma de colocarmos em Lagrange hehe).

Agora vamos descobrir a nossa área máxima utilizando os multiplicadores de Lagrange!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... a função lagrangeana é dada por:

L x , y , λ = x y - λ x + 2 y - 20 ∴

L x , y , λ = x y - λ x - 2 λ y + 20 λ

Derivando L em relação às três variáveis, temos:

∂ L ∂ x = y - λ

∂ L ∂ y = x - 2 λ

∂ L ∂ λ = - x - 2 y + 20

Nesse sentido, igualando as derivadas a zero, obtemos:

y - λ = 0 x - 2 λ = 0 - x - 2 y + 20 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos x = 10 e y = 5 .

Portanto, substituindo esses pontos na função, obtemos a nossa área:

A x , y = 5 * 10 = 50

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A x , y = 50

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