Uma placa circular plana tem o formato da região . A placa (incluindo a fronteira ) é aquecida de modo que a temperatura em um ponto da placa é dada por . Determine as temperaturas no ponto mais quente e no ponto mais frio sobre a placa, incluindo a fronteira .
Passo 1
O enunciado dá para gente uma função que rege a temperatura dentro de uma placa e pede o maior valor de temperatura (ponto mais quente) e o menor valor (ponto mais frio). Isso é a mesma coisa que pedir o máximo e o mínimo de dentro da região fechada .
E para achar esses valores, a gente precisa avaliar a função dentro da região, achando os pontos críticos dentro dela. E precisa avaliar também a função na fronteira .
Com isso a gente vai achar uma série de candidatos e vai testar na função para saber quem é o máximo e o mínimo global.
Passo 2
Nossa função que queremos os valores máximo e mínimo é:
A primeira coisa a fazer é achar os pontos críticos dessa função e ver se eles estão dentro da nossa região fechada. Vamos ver em que pontos as derivadas parciais zeram ao mesmo tempo.
O único ponto que satisfaz essas duas equações é .
Passo 3
Verificando se esse ponto está dentro da região fechada:
Logo o ponto está dentro da região e vai ser nosso primeiro candidato a máximo ou mínimo. Vamos guardar ele para o final.
Passo 4
Precisamos avaliar a função na fronteira. Vamos fazer de duas formas diferentes. Aí você decide a que é melhor para você. A primeira é usar os multiplicadores de Lagrange.
Nossa restrição é:
Então podemos fazer:
Usando os multiplicadores, a gente fica com:
Passo 5
Isso vai resultar num sistema. Lembrando que a gente também coloca a restrição no sistema, ele fica assim:
Da segunda equação a gente tem dois casos ou .
No caso de , a primeira equação fica sem solução, porque faz uma relação de igualdade entre coisas diferentes.
No caso de , temos da equação da restrição:
O que dá para gente os pontos e . Vamos guardar eles também.
Passo 6
A segunda forma de achar esses pontos é parametrizando a restrição . Isso é uma circunferência de raio e centro em . Fica desse jeitinho:
Passo 7
Para que a gente fez isso? Pensa comigo: isso é outra forma de escrever a nossa fronteira. Se a gente jogar esses valores de e dentro de , a gente vai poder avaliar os valores que assume dentro dessa curva.
Fica assim:
Substituindo as componentes da parametrização da restrição:
Essa é a expressão da nossa função dentro da circunferência. A gente quer saber os valores máximo e mínimo que ela pode atingir. Se a gente achar a imagem dessa função, nós achamos o limitante superior e o inferior para os valores que ela assume. Repara que:
Multiplicando tudo por 4, depois por
Agora somando :
Essa expressão do meio é nossa . Logo ela está entre e .
Olhando para , e fazendo umas continhas, vemos que e .
Substituindo na nossa parametrização, achamos também os pontos:
Passo 8
Com a nossa listinha de pontos, agora a gente pode testar cada um em e ver quem resulta no maior valor e quem resulta no menor.
Nossos pontos são:
Testando na função:
Logo o ponto de mínimo é o ponto e a temperatura nele é . E o ponto de máximo é e a temperatura dele é .
Resposta
Temperatura Mínima:
Temperatura Máxima: