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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 120123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 6

Seja f x , y = 4 x + 6 y e C a circunferência x 2 + y 2 = 13 . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O máximo absoluto de f em C é 26 e o mínimo absoluto de f em C é - 26 .
  2. Os valores extremos de f em C ocorrem em ± 2,3 .
  3. O máximo absoluto de f em C é 20 e o mínimo absoluto de f em C é - 20 .
  4. Os valores extremos de f em C ocorrem em 2 , - 3 e - 2,3
  5. Não sei

Passo 1

Temos a função:

f x , y = 4 x + 6 y

Sujeita a restrição:

x 2 + y 2 = 13

Então podemos usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos de f em C . Calculando o gradiente:

∇ f x , y = 4,6

Ajeitando a restrição:

x 2 + y 2 - 13 = 0

g x = x 2 + y 2 - 13

Calculando seu gradiente:

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 2

Usando os multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

4,6 = λ 2 x , 2 y

Então, temos o seguinte sistema de equações:

4 = 2 λ x   6 = 2 λ y   x 2 + y 2 = 13

Passo 3

Dividindo as duas primeiras equações termo a termo:

4 6 = 2 λ x 2 λ y

(Podemos dividir por 2 λ y pois temos a garantia que não vale zero, pelo próprio sistema 2 λ y = 6 .)

⇒ x y = 2 3

⇒ x = 2 3 y

Substituindo na terceira equação:

x 2 + y 2 = 13

2 3 y 2 + y 2 = 13

13 9 y 2 = 13

y 2 = 9

⇒ y = ± 3

Logo:

x = 2 3 y

⇒ x = ± 2

Então encontramos os pontos:

P 1 = 2,3   ; P 2 = 2 , - 3 ; P 3 = - 2,3 ; P 4 = - 2 , - 3

Passo 4

Devemos substituir pontos encontrados na função e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

f P 1 = 26

f P 2 = - 1 0

f P 3 = 10

f P 4 = - 26

Logo, f sujeita a restrição C tem máximo absoluto em 2,3 , sendo f 2,3 = 26 e mínimo absoluto em f - 2 , - 3 sendo f - 2 , - 3 = - 26

Resposta

a) O máximo absoluto de f em C é 26 e o mínimo absoluto de f em C é - 26

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