Seja

1. Encontre e classifique os pontos críticos de
2. Determine os extremos globais de em

Show! Agora vamos igualar essas derivadas parciais a zero:

E:

Portanto, só tem um ponto crítico: o ponto .

Vamos usar o teste da derivada segunda pra classificar . Mas primeiro vamos precisar calcular as derivadas segundas, é claro! Vamos ter:

E pras derivadas mistas:

Observação: as derivadas de segunda ordem são constantes, portanto o determinante do teste da derivada segunda não vai depender do ponto no qual é calculado :)

Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

ogo é pode ser ponto de sela.

Agora queremos o máximo e o mínimo de com a restrição

Primeiro você pode reparar que o ponto crítico da , está no interior do conjunto . Isso significaria que ele seria o nosso primeiro candidato a máximo e mínimo da função.

Maaaaaaas, a gente descobriu na letra , que o ponto é ponto de sela, ou seja, ele não é ponto de máximo nem de mínimo local, quem dirá global. Então, descartemos esse ponto.

Agora, temos também que buscar os candidatos na fronteira de , isto é, em

E, para isso, vamos usar nosso kiridu Lagrange!

Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?

Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de :

Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” , o que dá na equação:

O gradiente da nós já calculamos, é:

E o da vai ser:

Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:

E ainda temos a restrição , então nosso sistema vai ficar assim:

As equações e são aquelas famosas equações que a nossa mão coça pra cortar o e dos dois lados. Mas, já estamos carecas de saber que não podemos fazer isso sem antes considerar que e também pode. ser solução.

Beleza, dito isso, cortemos essa bagaça.

Na equação :

E, na equação :

Assim, temos quatro casos:

• (caso 1)
• (caso 2)
• (caso 3)
• (caso 4)

Caso 1:

Vamos começar estudando o caso . Substituindo na equação , temos:

Assim, obtemos 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de em : os pontos e .

Caso 2:

Vamos agora analisar o caso . A equação fica:

Assim, obtemos mais 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de em : os pontos e .

Caso 3:

Vamos analisar o caso . A equação fica:

Ou seja, não acrescenta nada de novo.

Pra evitar de termos que fazer mais contas a toa, observe que a mesma coisa vai acontecer para o caso 4: quando substituirmos na equação , vamos obter algo obvio e não vai acrescentar nenhum ponto novo.

Portanto, temos 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo absolutos de no disco :

Só falta calcular o valor da em cada um desses pontos e ver qual é o máximo e qual é o mínimo, então vamos lá!

Vamos calcular o valor de nos pontos e e e ao mesmo tempo, porque tanto quanto estão elevados ao quadrado na função. Então,

Portanto, os pontos de mínimo de no conjunto são e

(o valor mínimo é ), e os pontos de máximo são e

(o valor máximo é ).