Seja .
- Encontre e classifique os pontos críticos de .
- Encontre e classifique os pontos extremos globais de em .
Passo 1
Item a) se a gente quer averiguar pontos críticos, vamos começar encontrando o vetor gradiente, pois os pontos, serão aqueles que zeram esse vetor, se lembra?
Pois bem, o vetor gradiente é dado por . Calculando essas derivadas parciais...
Ou seja, o vetor gradiente dessa função é . Pra encontrar os pontos que zeram ele, basta igualar esse cara a zero, dessa forma aqui:
Podemos verificar que o único ponto que satisfaz essa condição, é o ponto e ... a origem, portanto :D
Passo 2
Para verificar que espécie de ponto é esse (se ele é de máximo, mínimo...), vamos ver o teste da segunda derivada... OPA!!! Aqui esse teste tem outro nome, é o teste da matriz Hessiana, aquele teste que envolve as derivadas de segunda ordem, se lembra?
Onde esse é o ponto crítico que queremos testar. Pois bem... agora é só calcular essas derivadas aí ver no que vai dar.
A Hessiana, portanto, será
Calculando esse determinante
Note que esse resultado vale para qualquer ponto, em especial para o ponto crítico . Como ele está negativo, significa que o ponto é de sela.
Passo 3
Item b) devemos começar esse item notando que a curva dada é uma elipse de cento na origem, pois, recordando, toda elipse com essa característica tem essa cara aqui: . No nosso caso, e . Show?!
Mas a gente não quer avaliar só a elipse, mas também o seu interior e a gente sabe que no interior dessa elipse, o único ponto que poderia ser alguma coisa é a origem, que a gente já viu que não é nada demais. Partiu avaliar em cima da elipse então?
Passo 4
Podemos fazer isso utilizando aqueles multiplicadores de Lagrange, pois se passarmos aquele 1 pro outro lado da equação da elipse...
Note que essa equação pode ser entendida com uma curva de nível da função . Que é justamente aquela função que precisamos para aplicar Lagrange, ou seja
Lembrando que esse é uma constante (o multiplicador). Calculando o gradiente da , teremos
e jogando na igualdade de Lagrange acima, vamos obter o seguinte sistema:
Se dividirmos a função de cima pela de baixo, vamos obter
Cortando esses lambdas e passando esses caras dividindo pro outro lado
Ué, mas só temos uma equação? Não, a outra equação é a própria elipse:)
Substituindo esse na de baixo
Quanto ao
Logo, os prováveis pontos de máximos e mínimos são: . Testando na função , vamos ter
Podemos concluir então que e são pontos de máximos globais e e são os de mínimo. Prontinho! Encontrados e classificados! :)
Resposta
Item a)
- – Ponto de sela
Item b)
- e – Pontos de máximos globais.
- e – Pontos de mínimos globais.