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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2022.2 – Questão 6

Use multiplicadores de Lagrange e determine o máximo da função f x , y = x 2 - y ² sobre o círculo x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para determinarmos o máximo da função sobre o círculo, temos que montar a primeira relação entre ambos:

f x , y = x 2 - y ²

g x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

Ok, a relação que precisamos achar vai ser:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Aonde λ vai ser o nosso multiplicador de Lagrange. Show? Então vamos lá.

Passo 2

Para começar, vamos calcular os gradientes de cada função do nosso Passo 1:

f x , y = x 2 - y ²

∇ f x , y = ( 2 x , - 2 y )

Agora da g ( x , y )

g x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Aplicando o multiplicador de Lagrange:

λ ∇ g x , y = λ ( 2 x , 2 y )

Fazendo a igualdade:

( 2 x , - 2 y ) = λ ( 2 x , 2 y )

Igualando cada termo, vamos montar um sistema:

2 x = λ 2 x - 2 y = λ 2 y x 2 + y 2 = 1

Vamos dar uma simplificada:

x = λ x - y = λ y x 2 + y 2 = 1

Jogando tudo para o mesmo lado:

x - λ x = 0 → x 1 - λ = 0 λ y + y = 0 → y λ + 1 = 0 x 2 + y 2 = 1

Ok, agora temos que olhar para cada equação e começar a desvendar os valores.

Passo 3

Vamos lá:

x - λ x = 0 → x 1 - λ = 0 λ y + y = 0 → y λ + 1 = 0 x 2 + y 2 = 1

Pela primeira equação, vamos ter:

x = 0   o u   1 - λ = 0

1ª Hipótese: 1 - λ = 0 → λ = 1

Olhando para a segunda equação:

y λ + 1 = 0

y 2 = 0 → y = 0

Com isso, se jogarmos na terceira equação:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + 0 = 1 → x = ± 1

Logo, x = - 1   o u   x = + 1 . Com isso, para a 1ª Hipótese, temos 2 pontos que satisfazem ela:

P 1 = ( - 1,0 )

P 2 = ( 1,0 )

Passo 4

Agora vamos testar outra hipótese:

x - λ x = 0 → x 1 - λ = 0 λ y + y = 0 → y λ + 1 = 0 x 2 + y 2 = 1

Pela primeira equação, vamos ter:

x = 0   o u   1 - λ = 0

2ª Hipótese: x = 0

Olhando para a terceira equação:

x 2 + y 2 = 1

0 + y 2 = 1 → y = ± 1

Logo, y = - 1   o u   y = + 1 . Com isso, para a 2ª Hipótese, temos 2 pontos que satisfazem ela:

P 3 = ( 0 , - 1 )

P 4 = ( 0 , 1 )

Show, já temos os pontos. Agora vamos calcular na fórmula.

Passo 5

Sabendo que:

f x , y = x 2 - y ²

P 1 = ( - 1,0 )

P 2 = ( 1,0 )

P 3 = ( 0 , - 1 )

P 4 = ( 0,1 )

Substituindo:

f - 1 , 0 = ( - 1 ) 2 - 0 2 = 1

f 1 , y = 1 2 - 0 2 = 1

f 0 , - 1 = 0 2 - - 1 2 = - 1

f 0,1 = 0 2 - 1 2 = - 1

Podemos então concluir que:

P 1   e   P 2   s ã o   p o n t o s   d e   m á x i m o

P 3   e   P 4   s ã o   p o n t o s   d e   m í n i m o

Resposta

P 1   e   P 2   s ã o   p o n t o s   d e   m á x i m o

P 3   e   P 4   s ã o   p o n t o s   d e   m í n i m o

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