Considere uma função continuamente diferenciável . Sabendo que
E é um vetor tangente à curva de nível no ponto , qual das equações abaixo poderia representar a equação de um plano tangente ao gráfico de no ponto ?
Passo 1
Beleza, vamos tentar ir seguindo o passo a passo de plano tangente para encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função.
Temos
Pois não sabemos a definição da .
Assim, o gradiente de é
Beleza, mas não sabemos quem são e . AINDA.
Passo 2
Temos o vetor, que é um vetor tangente à curva de nível no ponto .
Além disso, sabemos que o vetor gradiente de , o tal do vetor que queremos descobrir, é perpendicular à curva de nível de .
Isso quer dizer então que o vetor e o vetor gradiente de são vetores perpendiculares, logo, o produto escalar entre eles é nulo.
Assim,
A única informação que temos é que , então também.
E isso é tudo que podemos conseguir, pois não temos informações suficientes para descobrir os valores de e consequentemente de e depois achar exatamente e equação do plano tangente.
Beleza.
Mas, substituindo na equação do plano, temos algo mais ou menos assim:
Passo 3
A outra informação que temos é que o ponto de tagencia é o ponto , ou seja, esse ponto deve satisfazer a equação do plano.
Vamos testar então nas equações das opções pra ver se já eliminamos alguma?
Tá vendo, foi uma boa tática!
Eliminamos 3 alternativas!!
Agora vamos analisar só as duas que sobraram.
Comparando com a nossa equação do plano:
Estão bem parecidas, né... Exceto pelo que tá na frente do z, maaaas podemos dividir a primeira equação por -3 e ficamos com:
E dividino a segunda equação por 3, ficamos com:
Hmmmm... repara só que ta tudo bem nas duas na parte do z, porque a derivada de em relação a z é -1 mesmo. Shoow!
Maaass e são ambos positivos, o que não dá certo na primeira equação porque temos:
E ficaria e . Aí deu ruim.
Só sobrou a:
E ela dá certinho em todos os requisitos, inclusive com e .
Então a resposta é, confirmadíssima:
Letra
Resposta
Letra