Dada .

b) Encontre a equação do plano tangente a f no ponto (1,1,1).

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar o plano tangente à função f dada no ponto de coordenadas cartesianas (1,1,1). Bem, como queremos encontrar o plano tangente a função nesse ponto, é de se esperar que o ponto (1,1,1) seja um ponto que pertence tanto à função f quanto ao plano em si. A gente sabe que qualquer plano pode ser descrito por uma equação linear de duas variáveis da forma:

Ou, equivalentemente, podemos escrever z em função de x e y, dividindo a equação por C e redefinindo as constantes:

Onde o ponto pertence ao plano. No nosso caso, o ponto que pertence tanto ao plano quanto à função é . Então, a equação do plano será algo na forma:

Agora, só precisamos determinar quem são os coeficientes a e b. Como a equação acima representa o plano tangente a função f, se pegarmos o plano y = 1 e olharmos sua interseção com o plano tangente, temos que a interseção será uma reta tangente à função f(x,y) no ponto (1,1,1). Se essa reta é a reta tangente à função f com y fixo, então a gente sabe qual é a inclinação dela: a inclinação vai ser a derivada parcial de f em relação à x! Então, a gente tem que, para y =1:

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para x constante: pegando a interseção do plano x = 1 com o plano tangente, temos uma reta com inclinação :

Então, para determinar os coeficientes do plano só precisamos calcular as derivadas parciais da função! Então vamos lá!