UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 2c
3) Dada a superfície de equação , para quais valores positivos de e o seu plano tangente no ponto é paralelo ao plano .
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema temos uma superfície dada por e nosso objetivo é determinar os valores de e de modo que o plano tangente no ponto seja paralela ao plano .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Para determinar o plano tangente de uma superfície, temos que aplicar a fórmula.
Dessa forma, os termos que multiplicam as variáveis , e dos dois planos devem ser os mesmos para serem paralelos.
Sacou? Bora ver! 😐
Passo 2
Primeiro derivamos a equação da superfície parcialmente com relação a
Aplicando o ponto ...
Agora o mesmo com relação a
Aplicando o ponto
E por último com relação a
Aplicando o ponto
Substituindo essas informações e o ponto na equação do plano tangente, temos
Portanto o plano tangente a superfície no ponto é dado por
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
E finalmente, para determinar os valores de e de modo que o plano tangente da superfície e o plano sejam paralelos, temos que comparar os dois planos.
De forma mais direta, a contante que multiplica deve ser igual nas duas equações, assim como a constante que multiplica e ...
Assim podemos montar um sistema como
Da segunda equação tiramos que e consequentemente
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
