Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

b z = raiz(xy), (1,1,1)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O problema deu essa superfície

z = x y

E pediu a equação do plano tangente. Vamos lembrar como se faz?

A equação do plano tangente é

f x x 0 , y 0 , z 0 . x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 . y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 . z - z 0 = 0

Mas quem é f ? É a função que formamos com a superfície dada! É só trazer z para um lado e igualar à zero. No nosso caso

f = x y - z

Beleza?

Lembrando que o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) é o ponto dado! Então precisamos encontrar as derivadas parciais, aplicar no ponto, e depois jogar tudo na equação do plano tangente!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Derivando parcialmente temos

f = x y - z

∂ f ∂ x = y 2 x y ,   ∂ f ∂ x 1,1 , 1 = 1 2

∂ f ∂ y = x 2 x y ,   ∂ f ∂ y 1,1 , 1 = 1 2

∂ f ∂ z = - 1

Beleza?

Agora nossa missão é resolver as outras de forma bem similar!

Passo 3

Agora vamos jogar tudo isso na equação do plano

f x x 0 , y 0 , z 0 . x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 . y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 . z - z 0 = 0

1 2 x - 1 + 1 2 y - 1 - z - 1 = 0

x 2 + y 2 - z = 0

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

x 2 + y 2 - z = 0

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