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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

UFU – Cálculo 2 – Lista 1 – Questão 30

Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2 x + y e tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 . Qual é o ponto de tangência?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando a equação do plano tangente à função f

z = 2 x + y

2 x + y - z = 0

Mas você lembra o que os coeficientes querem dizer? Bora lembrar da fórmula da equação do plano tangente

f x x 0 , y 0 , z 0 . x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 . y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 . z - z 0 = 0

Lembrando que a função f é

f x , y = x 2 + y 2

Então a ideia é derivar parcialmente a função f e comparar com o coeficiente correspondente da equação do plano!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A nossa função é

f x , y = x 2 + y 2 = z → x 2 + y 2 - z = 0

Derivando parcialmente temos

f x = 2 x

f y = 2 y

f z = - 1

Beleza?

Agora nossa missão é resolver as outras de forma bem similar!

Passo 3

Agora vamos comparar com a equação do plano que temos

2 x + y - z = 0

Com as parciais

f x = 2 x

f y = 2 y

f z = - 1

Daí temos

2 x = 2 → x = 1

Também

2 y = 1 → y = 1 2

E por fim, para achar a coordenada z do ponto é só substituir as coordenadas x , y na superfície

z = 2 1 + 1 2 = 5 2

Aí o ponto de tangência é

1 , 1 2 , 5 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 , 1 2 , 5 2

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