Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Enunciado

Lembra como é a equação do plano tangente a uma superfície no ponto ?

Claramente essa questão é um pouco estranha, porque a função é implícita! Estamos acostumados a calcular o plano tangente em funções desse tipo aqui:

Mas nesse caso, temos uma função desse tipo:

Mas não tem problema, podemos arrumar a função para que ela se torne do primeiro tipo!

Normalmente esse seria um problema, mas nós podemos descartar o , já que estamos pensando no ponto , no qual o é positivo!

Então vamos trabalhar com essa função aqui:

Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais:

Precisamos usar a regra da cadeia para fazer essa derivada:

Como a derivada de é , vamos ficar com a seguinte expressão:

E no caso da deriva em relação a , vamos fazer quase a mesma coisa:

Beleza, calculamos as duas derivadas! Agora precisamos ver qual o valor delas no ponto :

Agora vamos substituir os valores que encontramos para achar a equação do plano tangente:

Agora vamos multiplicar tudo por , para eliminar as frações:

Pronto! Essa é a equação do plano tangente naquele ponto.

Letra (b).