PUC-RIO, Cálculo II, G4 VE1 2015.1, questão 1b
Seja
b) Encontre apenas um ponto onde o plano tangente a superfície de nível , neste ponto, seja paralelo ao plano
Passo 1
b) Vamos encontrar o plano tangente a superfície de nível:
Ajeitando:
Calculando o gradiente:
No ponto :
Onde é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 2
A questão diz que ele deve ser paralelo ao plano . Isso quer dizer que seus vetores normais são paralelos, ou seja:
Pro último elemento ser zero, temos:
Das duas primeiras coordenadas temos:
Passo 3
Porém lembre que o ponto pertence a superfície de nível. Logo, ele deve satisfazer essa equação. Temos:
Então o ponto pode ser:
Ou
Resposta
b)
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Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )