Seja f : R2 ��→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

c. Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

Passo 1

A afirmação c é verdadeira. Se f é uma função de classe ( C 2 ) em ( R 2 ) , isso significa que a função f possui derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em relação a ambas as variáveis x e y em todo o ( R 2 ) . Nesse caso, as derivadas parciais ( ∂ f ∂ x ) e ( ∂ f ∂ y ) existem e são funções contínuas em ( R 2 ) .

Passo 2

Agora, para uma função ser diferenciável em um ponto específico, suas derivadas parciais em relação a cada variável também precisam ser contínuas nesse ponto. Dado que as derivadas parciais ( ∂ f ∂ x ) e ( ∂ f ∂ y ) são contínuas em todo o ( R 2 ) devido à hipótese de ( C 2 ) , elas também são diferenciáveis em todo o ( R 2 ) .

Portanto, a afirmação c é verdadeira: se f é uma função de classe ( C 2 ) em ( R 2 ) , então as funções ( ∂ f ∂ x ) e ( ∂ f ∂ y ) são diferenciáveis em ( R 2 ) .

Resposta

Verdadeira.

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