USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.19c
Seja f : R2 ��→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
c. Se f é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .
Passo 1
A afirmação c é verdadeira. Se f é uma função de classe em , isso significa que a função f possui derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em relação a ambas as variáveis x e y em todo o . Nesse caso, as derivadas parciais e existem e são funções contínuas em .
Passo 2
Agora, para uma função ser diferenciável em um ponto específico, suas derivadas parciais em relação a cada variável também precisam ser contínuas nesse ponto. Dado que as derivadas parciais e são contínuas em todo o devido à hipótese de , elas também são diferenciáveis em todo o .
Portanto, a afirmação c é verdadeira: se f é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .
Resposta
Verdadeira.