USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.19a
Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
- Se para todo , então f é diferenciavel em .
Passo 1
Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, podemos aplicar o Teorema de Diferenciabilidade de Clairaut. O teorema de Clairaut afirma que, se uma função f: R² → R é contínua em um ponto (a, b) e todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em uma vizinhança de (a, b), então a função é diferenciável em (a, b).
No nosso caso, queremos verificar se a função f(x, y) é diferenciável em (0, 0), dado que para todo . Portanto, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais de f em .
Primeiro, vejamos as derivadas parciais de f:
1. (derivada parcial em relação a x)
2. (derivada parcial em relação a y)
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais em (0, 0). Para isso, usaremos a definição de continuidade:
Uma função é contínua em um ponto (a, b) se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que, para todos os pontos (x, y) que satisfaçam (ou seja, estejam dentro de uma vizinhança de (0, 0) com raio δ), temos .
Passo 2
Agora, vejamos se as derivadas parciais são contínuas em (0, 0):
- :
Podemos escrever a desigualdade dada como . Como f(0, 0) = 0, isso nos dá Isso significa que é limitada por e, portanto, podemos aplicar o teorema do limite para a derivada parcial :
Como, podemos afirmar que . Agora, aplicando o teorema do limite:
Isso significa que a derivada parcial é contínua em (0, 0).
2. :
Da mesma forma, podemos usar a desigualdade dada para mostrar que . Aplicando o teorema do limite novamente, obtemos:
Isso significa que a derivada parcial é contínua em (0, 0).
Como ambas as derivadas parciais são contínuas em (0, 0), podemos aplicar o Teorema de Diferenciabilidade de Clairaut. Portanto, a afirmação é verdadeira: se para todo (x, y) ∈ R², então f é diferenciável em (0, 0).
Resposta
Verdade