Sejam γ : R → R² e σ : R → R^2 dadas por γ(t) = (1, t) e σ(t) = (t, 0) para todo t ∈ R . Considere ainda F : R^2 → R , diferençável e tal que

F(γ(t)) = -5 * t^2 + t + 1

F(σ(t)) = t^2, ∀ t ∈ R

Dê a equação do plano tangente ao gráfico de F no ponto (x₀, y₀) = (1,0) .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver uma questão sobre plano tangente.

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície

z = f ( x , y ) no ponto P x 0 , y 0 , z 0 é dada por

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

Passo 2

Sabemos que F x , y pode ter a seguinte cara pois ela é F   : R 2 → R

F x , y = a x 2 + y 2 + b x + y + c

E

F 1 , t = a 1 + t 2 + b 1 + t + c

Mas sabemos que F γ t = - 5 t 2 + t + 1

Então

- 5 t 2 + t + 1 = a 1 + t 2 + b 1 + t + c

Então,

- 5 t 2 + t + 1 = a + a t 2 + b + b t + c

a t 2 = - 5 t 2

b t = t

1 = b + c + a

a =   - 5

b = 1

c = 5

Agora podemos enfim começar a calcular o plano pois temos as constantes de F ( x , y )

f x = - 10 x + 1

f y = - 10 y + 1

z =   - 9 x - 1 + y

Resposta

z =   - 9 x - 1 + y

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