USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.18c
Sejam derivável e dada por para todo . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
c) As condições para que o plano seja o plano tangente ao gráfico de F em são: e .
Passo 1
Para verificar se a afirmação (c) é verdadeira, precisamos determinar as condições necessárias para que o plano seja o plano tangente ao gráfico de no ponto .
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
Agora, vamos encontrar o plano tangente em um ponto genérico
1. O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de neste ponto:
2. A equação do plano tangente é:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Agora, observe que a equação do plano é equivalente a:
Passo 2
Comparando as duas equações, temos:
Isso significa que para que o plano seja o plano tangente ao gráfico de em , precisamos que
.
A afirmação (c) menciona três condições:
1. : Isso significa que o ponto está no plano .
2. : Isso implica que , ou seja, o valor da função em é igual a 1.
3. : Isso significa que o produto entre e a derivada de em é igual a 1.
Essas condições são consistentes com a equação do plano , que requer apenas .
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira, desde que as três condições mencionadas sejam atendidas.
Resposta
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira, desde que as três condições mencionadas sejam atendidas.