USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.18a
Sejam derivável e dada por para todo . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
- O eixo está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos de forma .
Passo 1
Olá meu amigo, Yuri aqui e agora é hora de pegarmos algumas questões teóricas para fazer. Eu sei, você não gosta de questões teóricas, mas até o final da resolução irá perceber o qual importantes elas são.
Para verificar se a afirmação (a) é verdadeira, precisamos considerar o gradiente de F(x, y) e o plano tangente ao gráfico de F no ponto
Passo 2
O gradiente de F(x, y) é dado por:
Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de F em um ponto genérico .
O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de F neste ponto:
Agora, podemos escrever a equação do plano tangente:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 3
Simplificando
Agora, vamos verificar se o eixo Oy (x = 0) está contido neste plano tangente. Substituindo x = 0 na equação do plano:
Aqui, é uma constante (não depende de y) e F(0, y) depende apenas de y. Portanto, a equação acima é verdadeira para qualquer valor de y.
Isso significa que o eixo Oy está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma Portanto, a afirmação (a) é verdadeira.
Resposta
V