Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

b) O ponto (1,1,1) pertence a todos os planos tangentes o gráfico de F em pontos da forma 0 ,   y 0 ,   F 0 , y 0 .

Passo 1

Para verificar se a afirmação (b) é verdadeira, vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de F no ponto (0, y0, F(0, y0)) e ver se o ponto (1, 1, 1) pertence a todos esses planos.

Primeiro, encontremos o gradiente de F(x, y):

∇ F x ,   y =   ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y =   f y ,   x   *   f ' y

Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de F no ponto ( 0 ,   y 0 ,   F ( 0 ,   y 0 ) ) :

1. O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de F neste ponto:

N   =   ∇ F 0 ,   y 0 ,   - 1 =   f y 0 ,   0 ,   - 1

2. A equação do plano tangente é:

N   ·   ( x   -   0 ,   y   -   y 0 ,   F ( x ,   y )   -   F ( 0 ,   y 0 ) )   =   0

Substituindo os valores conhecidos:

f y 0 ,   0 ,   - 1 ·   x ,   y   -   y 0 ,   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

f y 0 x +   0 y   -   y 0 -   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Passo 2

Simplificando:

f y 0 x   -   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Agora, queremos verificar se o ponto (1, 1, 1) pertence a todos esses planos tangentes. Substituindo x = 1, y = 1 na equação acima:

f y 0 -   F 1 ,   1 -   F 0 ,   y 0 =   0

Agora, observe que F 1 ,   1 =   1   *   f 1 =   f 1 , e F 0 ,   y 0 =   0   *   f y 0 =   0 . Portanto, a equação se torna:

f y 0 -   f 1 -   0 =   0

f y 0 -   f 1 =   0

Aqui, temos uma equação que só é satisfeita se y0 for igual a 1, porque f y 0   é uma função de y. Portanto, para que o ponto (1, 1, 1) pertença a todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma 0 ,   y 0 ,   F 0 ,   y 0 , y0 deve ser igual a 1.

Portanto, a afirmação (b) é verdadeira apenas quando y0 = 1.

Resposta

Falsa

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