USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.18b
Sejam derivável e dada por para todo . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
b) O ponto (1,1,1) pertence a todos os planos tangentes o gráfico de F em pontos da forma .
Passo 1
Para verificar se a afirmação (b) é verdadeira, vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de F no ponto (0, y0, F(0, y0)) e ver se o ponto (1, 1, 1) pertence a todos esses planos.
Primeiro, encontremos o gradiente de F(x, y):
Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de F no ponto
1. O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de F neste ponto:
2. A equação do plano tangente é:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 2
Simplificando:
Agora, queremos verificar se o ponto (1, 1, 1) pertence a todos esses planos tangentes. Substituindo x = 1, y = 1 na equação acima:
Agora, observe que , e . Portanto, a equação se torna:
Aqui, temos uma equação que só é satisfeita se y0 for igual a 1, porque é uma função de y. Portanto, para que o ponto (1, 1, 1) pertença a todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma , y0 deve ser igual a 1.
Portanto, a afirmação (b) é verdadeira apenas quando y0 = 1.
Resposta
Falsa