USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.18d
Sejam derivável e dada por para todo . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
d) O plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano z = 0.
Passo 1
Para verificar se a afirmação (d) é verdadeira, precisamos determinar se o plano tangente ao gráfico de F pode ser paralelo ao plano z = 0 (ou seja, ao plano xy).
O plano tangente ao gráfico de F no ponto (x0, y0) é dado pelo vetor normal ao plano tangente, que é determinado pelo gradiente de F(x, y) neste ponto. O gradiente de F(x, y) foi calculado anteriormente como:
Agora, vamos considerar um ponto genérico (x0, y0) no plano xy (z = 0). Nesse caso, z0 = 0. Queremos determinar se o vetor normal ao plano tangente, que é, pode ser paralelo ao plano xy (z = 0).
Passo 2
Para que dois vetores sejam paralelos, eles devem ser proporcionais um ao outro. Portanto, o vetor é paralelo ao plano xy (z = 0) se e somente se:
Isso implica que:
Aqui, a constante / x0 é uma constante dividida por x0 e, portanto, pode ser uma constante qualquer (não depende de
No entanto, a relação não é constante para a função f, a menos que f seja uma função exponencial (como a função . Portanto, em geral, a relação entre f(y0) e f'(y0) não é constante.
Portanto, podemos concluir que o plano tangente ao gráfico de F não será paralelo ao plano z = 0, a menos que a função f seja uma função exponencial. Portanto, a afirmação (d) é verdadeira apenas sob certas condições específicas para a função f.
Resposta
F