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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

1.a1) Calcule a seguinte integral

∫ cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Bora lá. Quando a gente pega uma integral, temos que olhar muito bem pra função que ta dentro dela. E olha só esse cara aí, é uma trigonométrica ao cubo, né? E se fizermos:

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x d x

Não muda nada, certo? Realmente não, mas pode nos ajudar numa coisa: a usar identidades trigonométricas. Se:

s in 2 ⁡ x +   cos 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x  

E logo:

∫ cos ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x ∙ 1 - sin 2 ⁡ x d x

Ok, mas onde vamos chegar? Bem, pensa comigo. Se fizermos a substituição:

u = sin ⁡ x

Vamos ter:

d u d x = cos ⁡ x

d x = d u cos ⁡ x

Epa, quer dizer que vamos cortar um termo? Isso aí! Saca só como fica:

∫ cos ⁡ x ∙ 1 - sin 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x ∙ 1 - u 2   d u cos ⁡ x

E logo:

∫ cos ⁡ x ∙ 1 - u 2   d u cos ⁡ x = ∫ 1 - u 2 d u

Resolvendo a integral, temos:

∫ 1 - u 2 d u = u - u 3 3 + C

E agora pra fechar com chave de ouro, só voltar pra variável original:

∫ cos 3 ⁡ x d x = u - u 3 3 + C = sin ⁡ x - sin 3 ⁡ x 3 + C

Resposta

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x - sin 3 ⁡ x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x