2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(d) ∫ 0 1 x 2 1 + x 3 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = x 2 1 + x 3 entre x = 1 e x = 0 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ 0 1 x 2 1 + x 3 d x

Fazendo u = 1 + x 3 , vamos obter d u d x = 3 x 2 ou d x = 1 3 x 2 d u

Adaptando também nossos limites de integração começando por x = 1

u f = 1 + 1 3 = 2

Para x = 0

u i = 1 + 0 3 = 1

Substituindo 1 + x 3 , d x e os limites de integração, temos

∫ 0 1 x 2 1 + x 3 d x → ∫ 1 2 x 2 u 1 3 x 2 d u

∫ 1 2 1 u 1 3 d u

Tirando a constante 1 / 3 de dentro da integral...

1 3 ∫ 1 2 1 u d u

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de 1 / u é dada por

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Aplicando os limites de integração...

1 3 ∫ 1 2 1 u d u = 1 3 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

1 3 ∫ 1 2 1 u d u = ln ⁡ 2 3

Assim, o resultado da nossa integral é dado por

∫ 0 1 x 2 1 + x 3 d x = ln ⁡ 2 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 x 2 1 + x 3 d x = ln ⁡ 2 3

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x