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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Integração por Substituição Simples

Calcule as seguintes integrais:

c ∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x

Passo 1

A primeira coisa que eu reparei nessa integral foi aquele termo dentro do l n . Ele cai num produto notável interessante para a questão:

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Reparando ainda que no denominador eu também tenho esse termo, me parece uma boa substituição a se fazer:

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ∫ 0 1 ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x

u = x + 1 → d u = d x

L i m i t e s :     u i n f e r i o r = 0 + 1 = 1 ;     u s u p e r i o r = 1 + 1 = 2

∫ 0 1 ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ∫ 1 2 ln ⁡ [ u 2 ] u d u = ∫ 1 2 2 ln ⁡ ( u ) u d u

Reparou que o 2 foi para frente? Isso é propriedade do logaritmo! A partir daí, se eu me lembrar que a derivada do ln ⁡ ( x ) é 1 x , olha como uma segunda substituição simplifica tudo:

t = ln ⁡ ( u ) → d t = d u u

L i m i t e s :     t i n f e r i o r = ln ⁡ 1 = 0 ;     t s u p e r i o r = ln ⁡ ( 2 )

∫ 1 2 2 ln ⁡ u u d u = 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 t   d t = 2 t 2 2 [ ln ⁡ 2 0

= ln ⁡ 2 2 - 0 2 = ln 2 ⁡ 2

Resposta

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln 2 ⁡ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x