1.5. Calcule as integrais abaixo usando substituição (inverso da regra da cadeia para derivadas):

(a) ∫ e x s e n e x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter a integral da função f x = e x s e n e x aplicando o método de substituição.

Lembra como aplicamos esse método? 🤔

O método de substituição na integração consiste em substituir parte da função de integração e a variável de integração por uma variável, para facilitar o cálculo da integral. Por exemplo

∫ g h x d x

Substituindo h x por u e fazendo d u d x = d h x d x , temos

∫ g u d h x d x d u

Bora ver como é na prática😁

Passo 2

A integral é dada por

∫ e x s e n e x d x

Substituindo e x por u , temos

d u d x = d e x d x = e x

Assim, isolando d x , vamos obter

d u d x = e x → d x = 1 e x d u

Substituindo e x e d x na integral, temos

∫ e x s e n e x d x → ∫ e x s e n u 1 e x d u

∫ s e n u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de s e n u é dada por

∫ s e n u d u = - cos ⁡ u + C

Mas como u = e x ...

∫ e x s e n e x d x = - cos ⁡ e x + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ e x s e n e x d x = - cos ⁡ e x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x