2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(c) ∫ 0 π / 3 cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = cos ⁡ 2 x entre x = π / 3 e x = 0 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ 0 π / 3 cos ⁡ 2 x d x

Fazemos u = 2 x e assim d u d x = 2 ou também d x = 1 2 d u ...

Adaptando também os limites de interação, temos que para o limite superior x = π / 3 , no domínio de u , vamos ter

u f = 2 π 3 = 2 π 3

E para o limite inferior x = 0

u i = 2 0 = 0

Assim a integral será dada por

∫ 0 π / 3 cos ⁡ 2 x d x → ∫ 0 2 π / 3 cos ⁡ u 1 2 d u

Tirando a constante de dentro da integral...

1 2 ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ u d u

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é dada por

∫ cos ⁡ u d u = s e n u

Aplicando os limites de integração

1 2 �� 0 2 π 3 cos ⁡ u d u = 1 2 s e n 2 π 3 - s e n 0

1 2 ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ u d u = 1 2 3 2

1 2 ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ u d u = 3 4

Assim, o resultado da nossa integral será

∫ 0 π / 3 cos ⁡ 2 x d x = 3 4

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 π / 3 cos ⁡ 2 x d x = 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x