Calcule a integral

∫ x x - 1 d x

Passo 1

Temos um cara meio louco dentro daquela raiz, aqui está atrapalhando de leve a fazer a integral, vamos fazer a substituição

u = x - 1

Derivando vamos achar

d u = d x

Passo 2

Vamos agora substituir os valores na integral, temos um x ali, pela nossa substituição ele vai ser u + 1 . A integral vai ficar

∫ x x - 1 d x = ∫ u + 1 u d u

Lembrando que u = u 1 / 2 , a integral vai ficar

∫ u + 1 u d u = ∫ u + 1 u 1 / 2 d u = ∫ u u 1 / 2 + 1 u 1 / 2 d u = ∫ u 1 - 1 / 2 + u - 1 / 2 d u =

⇒ ∫ u 1 / 2 + u - 1 / 2 d u = u 1 + 1 / 2 1 + 1 / 2 + u 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 + C = u 3 / 2 3 / 2 + u 1 / 2 1 / 2 + C

⇒ 2 3 u 3 / 2 + 2 u 1 / 2 + C

Passo 3

Precisamos agora desubstituir o valor de u

2 3 u 3 / 2 + 2 u 1 / 2 + C = 2 3 x - 1 3 / 2 + 2 x - 1 1 / 2 + C = 2 3 x - 1 3 / 2 + 2 x - 1 1 / 2 + C

Pronto, terminou a integral.

Resposta

2 3 x - 1 3 / 2 + 2 x - 1 1 / 2 + C

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