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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 2.6e

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(e) ∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = 2 x 1 + x 2 entre x = 1 e x = 0 . Pra isso temos que usar o m��todo de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x

Podemos fazer u = 1 + x 2 e consequentemente d u d x = 2 x ou d x = 1 2 x d u .

Adaptando também os limites de integração, vamos obter para x = 1

u f = 1 + 1 2 = 2

Para x = 0

u i = 1 + 0 2 = 1

Substituindo 1 + x 2 , d x e os limites de integração, temos

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x → ∫ 1 2 2 x u 1 2 x d u

∫ 1 2 u d u

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Pelo método de integração polinomial, a integral de u é dada por

∫ u d u = ∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1

∫ u d u = u 3 / 2 3 / 2

∫ u d u = 2 u 3 / 2 3

Aplicando os limites de integração

∫ 1 2 u d u = 2 2 3 / 2 3 - 2 1 3 / 2 3

∫ 1 2 u d u = 4 2 3 - 2 3

∫ 1 2 u d u = 4 2 - 2 3

Portanto, a integral do problema resulta em

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x = 4 2 - 2 3

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x = 4 2 - 2 3

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x