2. Regra de Substituição

r) ∫ arctan ⁡ 4 x d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ arctan ⁡ 4 x d x .

Como temos uma função, dentro da integral, que não dá pra ser integrada diretamente, precisamos usar alguma técnica de integração.

Como temos função composta, usamos o método da substituição.

Lembrando que a gente achou a integral de arcotangente na letra n:

∫ arctan ⁡ x d x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Passo 2

Usando substituição simples:

u = 4 x

d u = 4 d x → d x = d u 4

A integral fica:

∫ arctan ⁡ 4 x d x = ∫ arctan ⁡ u d u 4

= 1 4 ∫ arctan ⁡ ( u ) d u

Resolvendo:

= 1 4 u arctan ⁡ u - 1 2 ln ⁡ ( 1 + u 2 )

Voltando pra x :

= 1 4 4 x arctan ⁡ 4 x - 1 2 ln ⁡ 1 + 4 x 2

= x arctan ⁡ 4 x - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 x 2

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= x arctan ⁡ 4 x - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 x 2 + C

Resposta

x arctan ⁡ 4 x - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 x 2

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