UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Integrais, Questão 8.8
Calcule . (*Antes de resolver, procure memes sobre esta integral na internet, existem alguns ótimos.*)
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Precisamos calcular
Fazendo uma vasta pesquisa de memes, encontramos que a melhor forma de resolver essa integral é através de uma substituição simples! Maaaaaas, vamos ter que tomar um pouco de cuidado! Vamos com calma! Vem comigo!
Passo 2
Note o que acontece quando tentamos fazer uma substituição simples, temos que
simplesmente calcular seria bastante problemático, então vamos fazer o seguinte, elevemos ambos os lados ao quadrado, temos que
ao diferenciar os dois lados, temos que usando a regra da cadeia e derivadas conhecidas, obtemos
Isso ainda não é o suficiente para reescrever a nossa integral! MAAAAS, se lembrarmos que
podemos usar as equações e para obter que
ou seja, podemos escrever que
e, a nossa integral se torna
Okay… mudamos nosso problema! Mas ainda precisamos simplificar um pouco mais! Vem comigo!
Passo 3
Vamos dividir o denominador e o numerador por , temos que
parece pior, mas a vantagem está no fato que diminuímos a potência dos . A vantagem está no fato de que podemos reescrever este integrando como
se completarmos o quadrado, temos que
como podemos identificar um quadrado perfeito, temos que
A nossa integral se torna então
Não parece ter melhorado muito ainda! Vamos continuar com alguns truques algébricos!
Passo 4
Se fôssemos usar uma substituição simples novamente para simplificar o nosso problema, seria interessante que pudéssemos identificar a derivada do denominador em nosso numerador, então, porque não colocamos a derivada
em nosso numerador? Não podemos simplesmente colocar, mas note que
e convenientemente, temos um em nosso numerador, dessa forma, podemos dizer que
A primeira integral está da maneira que queríamos, mas a segunda não, no entanto, esse denominador foi construído completando o quadrado, lembra? Nós podíamos muito bem ter feito o quadrado da seguinte maneira
de forma que o denominador original pode ser identificado como
de maneira que a integral que escrevi acima, é simplesmente
Qual a vantagem disso? Agora em ambos os numeradores temos um termo que pode ser obtido através da derivada do termo elevado ao quadrado no denominador. Uff… Vamos continuar!
Passo 5
Vamos resolver uma integral de cada vez! Primeiro fazemos a substituição
e
de forma que a primeira integral é simplesmente
da mesma forma, podemos reescrever a segunda integral usando a substituição
e
portanto, temos que
Finalmente, nossa integral agora pode ser escrita como
Finalmente parece um pouco melhor não é? Vamos ver o que conseguimos fazer com isso agora!
Passo 6
A primeira integral é conhecida, e para facilitar nossa vida, vamos usar que
ou seja, temos que a primeira integral é dada por
a segunda integral também é conhecida como
de forma que
Quase lá! Juntando os resultados, temos que
parece finalizado? Quase, ainda temos que voltar para a variável original! Vamos fazer isso no próximo passo para fechar!
Passo 7
Usando que
e
temos que
Acabou? Nope… ainda temos que usar que
de forma que
Só não esquece de colocar a constante no final, belezinha? Uff… acabou… a questão foi isso… te vejo na próxima! Tchau Tchau!