Calcule:

∫ sen ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Pra resolver essa integral vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante, a do seno de arco duplo.

sen ⁡ ( 2 x ) = 2 s e n ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x )

Agora a gente substitui isso dentro da integral e simplifica o que puder.

∫ sen ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( x ) d x = ∫ 2 sen ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) cos ⁡ x 1 2 d x = 2 ∫ sen ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição simples, olha só:

u = cos ⁡ ( x )

d u = - sen ⁡ ( x ) d x

Obtemos então a integral

- 2 ∫ u d u

cuja resolução é

- 2 . 2 u 3 2 3 = - 4 u 3 2 3 + C

Passo 3

Podemos agora desfazer a substituição e voltar para a variável original.

- 4 u 3 2 3 + C = - 4 cos 3 2 ⁡ ( x ) 3 + C

Resposta

- 4 cos 3 2 ⁡ ( x ) 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x