4.7. Calcule 4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x e explique por que que esta integral pode ser usada para calcular a área do círculo unitário.

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a integral 4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x e explicar por que essa integral pode ser usada para calcular a área do círculo unitário.

E aí, tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para explicar o motivo dessa integral resultar na área de um círculo unitário, a melhor maneira é desenvolver a função de integração.

Bora ver como é! 😎

Passo 2

Igualando a função de integração a y , temos

y = 1 - x 2

y 2 = 1 - x 2

x 2 + y 2 = 1

Perceba que essa função é exatamente igual a equação da circunferência centrada na origem de raio 1 .

Como temos y = 1 - x 2

O gráfico dessa função seria apenas a parte positiva de y , ou seja, a parte de cima da circunferência (isso porque não temo como a raiz de um número resultar em um valor negativo).

Esboçando o gráfico da função e hachurando a região de integração entre x = 0 e x = 1 , vamos ter

Perceba que a região de integração corresponde a ¼ da área do círculo, assim, como o problema é 4 vezes essa integral, o resultado é a área de um círculo de raio 1 completo

4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x = π r 2 = π

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x = π

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x