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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

20)

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x

Passo 1

Em exercícios como esse é muito tentador tentarmos de cara fazermos uma substituição simples do tipo

a = x 2 + 8 x + 25

E de cara acabarmos o problema calculando o d a tal. Acontece que infelizmente o d a nesse caso é

d a = 2 x + 8

E não o que temos no nominador !

Mas calma! Podemos brincar com o nominador pra força-lo a ter o que a gente quer. Acompanha-me e veja melhor! ;)

Passo 2

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x

Vamos somar 6 e tirar 6 para termos um 8 ...

∫ 3 x + 2 + 6 - 6 x 2 + 8 x + 25 d x = ∫ 2 x + x + 8 - 6 x 2 + 8 x + 25 d x =

∫ 2 x + 8 + x - 6 x 2 + 8 x + 25 d x

Epa!!! Já apareceu um termo que queríamos, então vamos separá-los do restante:

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = ∫ 2 x + 8 x 2 + 8 x + 25 d x + ∫ x - 6 x 2 + 8 x + 25 d x

Antes de matarmos aquela primeira integral (pela substituição simples que vimos), tenho um pressentimento que a gente consegue fazer mais alguma manobra na segunda integral

∫ x - 6 x 2 + 8 x + 25 d x

para simplifica-la também, já que

d a = 2 x + 8     →         d a 2 = x + 4 d x

Somando 10 e tirando 10 ...

∫ x - 6 + 10 - 10 x 2 + 8 x + 25 d x   ⇒

∫ x + 4 - 10 x 2 + 8 x + 25 d x    

Então...

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = ∫ 2 x + 8 x 2 + 8 x + 25 d x + ∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25 d x   - ∫ 10 x 2 + 8 x + 25 d x     ⇒

Essas duas primeiras integrais depois da igualdade, podem ser aglutinadas para resolvermos uma integral só:

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = ∫ 2 x + 4 x 2 + 8 x + 25 d x + ∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25 d x   - ∫ 10 x 2 + 8 x + 25 d x     ⇒

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = 3 ∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25 d x   - 10 ∫ 1 x 2 + 8 x + 25 d x    

Passo 3

Calculemos a primeira delas pela substituição que estávamos querendo fazer:

∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25   d x

Como

x 2 + 8 x + 25 = a       →         d a 2 = x + 4 d x

∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25   d x = ∫ 1 a ⋅ d a 2 =

1 2 ln ⁡ a + C

Voltando para a variável original...

∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25   d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 8 x + 25 + C

Passo 4

Calculemos a segunda integral que geramos antes de retornar para o problema em si:

∫ 1 x 2 + 8 x + 25 d x

Bem, perceba que aqui não podemos usar uma substituição como a anterior, pois não tem como de substituir o d x de forma fácil.

Então para resolvê-la, depende muito dos zeros da expressão quadrática do denomidor:

1º Por frações parciais se existir raízes reais.

2º Ou por substituição trigonométrica se não existir raízes rais.

x 2 + 8 x + 25 = 0

Calculando o ∆ ...

∆ = b 2 - 4 a c = 8 2 - 4 ⋅ 25 =

64 - 100 = - 36

Epa! Raiz de negativo, não é real então estamos trabalhando com uma substituição trigonométrica, saca?

Passo 5

Então, antes de substituirmos qualquer coisa (na verdade para saber como vamos substituir), vamos completar quadrado na expressão quadrática de baixo:

∫ 1 x 2 + 8 x + 25 d x =

Como x + 4 2 = x 2 + 8 x + 16 ...

∫ 1 x 2 + 8 x + 16 + 9 d x = ∫ 1 x + 4 2 + 9 d x

Man, essa integral tá com muita cara daquela integral que já conhecemos o resultado imediatamente:

∫ 1 a 2 + 1 d x = arctan ⁡ a + C

Mas para chegar nessa integral, vamos trabalhar um pouquinho no algebrismo da coisa (mas sempre focando chegar numa integral parecida, saca?)

Passo 6

∫ 1 x + 4 2 + 9 d x

Podemos colocar o 9 em evidência...

∫ 1 x + 4 2 + 9 d x = ∫ 1 9 x + 4 2 9 + 1 d x

Como 9 = 3 2 ...

1 9 ∫ 1 x + 4 2 3 2 + 1 d x = 1 9 ∫ 1 x + 4 3 2 + 1 d x =

1 9 ∫ 1 x 3 + 4 3 2 + 1 d x

Prontinho, agora se fizermos a substituição...

a = x 3 + 4 3     →           d a = 1 3 d x               o u               d x = 3 d a

Então substituindo...

1 9 ∫ 1 x 3 + 4 3 2 + 1 d x = 1 9 ∫ 1 a 2 + 1 3 d a =

1 3 ∫ 1 a 2 + 1 d a

HAHA! Chagamos a que queríamos :D

1 3 ∫ 1 a 2 + 1 d a = 1 3 arctan ⁡ a + C

Voltando então para a variável original que é o x ...

∫ 1 x + 4 2 + 9 d x = 1 3 arctan ⁡ x + 4 3 + C

Passo 7

Retornando à integral que realmente queremos encontra o resultado

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = 3 ∫ x + 4 x 2 + 8 x + 25 d x   - 10 ∫ 1 x 2 + 8 x + 25 d x    

E substituindo os resultados parciais...

∫ 3 x + 2 x 2 + 8 x + 25 d x = 3 2 ln ⁡ x 2 + 8 x + 25 - 10 1 3 arctan ⁡ x + 4 3 + C    

Resposta

3 2 ln ⁡ x 2 + 8 x + 25 - 1 0 3 arctan ⁡ x + 4 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x