UFSC – Cálculo 2 – Prof. Dr. Romulo Castillo – P2 – 2015/2
4 Resolva (Determine se a integral é convergente ou divergente)
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos resolver a integral e dizer se ela é convergente ou divergente.
Pra calcular a integral vamos usar substituição simples, maaas como os limites de integração estão indo para menos infinito e mais infinito, vamos substituir por uma letrinha qualquer e resolver normalmente:
Depois, calculamos o limite do resultado com tendendo a e . Se tiver um resultado finito, então ela é convergente.
Passo 2
Essa integral tá meio feiosa, então vamos precisar de alguma técnica, né? Repara que temos um polinômio de grau 2 embaixo e nada em cima... Isso lembra:
Então vamos manipular pra deixar com essa carinha.
Completando quadrados:
Colocando o em evidência porque queremos fazer aparecer um .
Botando o 4 pra dentro do quadrado:
Passo 3
Agora fazendo uma substituição simples:
E para os limites de integração:
A integral fica:
Agora calculando o limite:
Como o limite deu um valor finito, então a integral é convergente.