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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a seguinte integral

∫ x ³ 1 + x ² d x

Passo 1

Vamos tentar usar o bom e velho método da substituição. Uma boa pedida é fazer o seguinte

u = 1 + x ²

d u = 2 x d x

Assim temos

x = u - 1 1 2

d x = d u 2 x = d u 2 u - 1 1 2

E

x ³ = u - 1 3 2

A integral se transforma então em

1 2 ∫ u - 1 3 2 u d u u - 1 1 2

Passo 2

Agora temos que simplificar e resolver a integral. Partiu!

1 2 ∫ u - 1 3 2 - 1 2 u d u =

1 2 ∫ u - 1 1 u d u =

1 2 ∫ u u - u   d u =

1 2 ∫ u 3 2 - u 1 2   d u =

1 2 2 u 5 2 5 - 2 u 3 2 3 + C =

2 u 5 2 10 - 2 u 3 2 6 + C =

u 5 2 5 - u 3 2 3 + C

Passo 3

Ufa, estamos quase lá. Agora falta só voltar para a variável original, assim:

u = 1 + x ²

Então

u 5 2 5 - u 3 2 3 + + C = ( 1 + x 2 ) 5 2 5 - ( 1 + x 2 ) 3 2 3 + C

Resposta

( 1 + x 2 ) 5 2 5 - ( 1 + x 2 ) 3 2 3 + C

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